学进去

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度v₀沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为θ，且tanθ= ，带电粒子的质量为m，电量为q，不计带电粒子的重力。求：
(1)粒子第一次经过N点的速度v；
(2)粒子从N点运动到O点过程中，洛伦兹力的冲量I；
(3)电场强度E的大小；
(4)粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔t。

一质量为5m的羽毛球筒长为L，羽毛球的高度为（可将羽毛球看成质量集中在球头的质点），如图甲有一质量为m的羽毛球静置于球筒封口底端，迅速倒立使羽毛球和球筒静置于如图乙左状态，已知羽毛球和球筒间的滑动摩擦力恒为F_f＝kmg，重力加速度为g，现有两种方式尝试将球从筒内取出，求:（设球筒一直保持竖直方向不倾斜）
（1）如图乙，若空气阻力f＝nv（已知n为常数），手握球筒施加竖直向下的恒力F使球和球筒相对静止由静止开始运动，求加速度的表达式.
（2）如图乙，不计空气阻力，已知球筒开口端距地面起始高度为，手对球筒施加竖直向下的恒力F由静止开始运动，球筒以一定速度撞击桌面后立即静止，而羽毛球恰好能滑至球头碰到桌面，求恒力F大小及k满足的条件。
（3）如图丙，不计空气阻力，k＝2，让球筒开口朝下从离地L高处由静止释放，球筒撞击地面后反弹的速率始终为撞击前的当球筒第一次到达最高点时，羽毛球能否从筒中滑出？若能，求滑出时的速度大小；若不能，求羽毛球此时距离球筒开口端的距离。

为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，。一未知粒子从坐标原点与正方向成角射入，在坐标为的点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力。求：
（1）该未知粒子的比荷；
（2）匀强电场电场强度的大小及左边界的值；
（3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（未画出）。求粒子由点运动到点的时间以及坐标的值。

1911年荷兰物理学家昂纳斯首次发现当温度降到时，汞的电阻突然降到零．此后，科学家们持续开展超导研究，不断提升超导材料的转变温度．2023年3月杂志发表了美国罗切斯特大学研究团队的成果，他们宣布在（1万大气压）下实现了材料近室温超导转变，随后我国研究人员也在杂志上发文，否定了的高压室温超导的结论．室温超导一旦实现，将会引起一场新的科技革命，推动人类文明的进步．
超导体在临界温度下会进入超导态，表现出零电阻、完全抗磁性等性质．
(1)一般通过超导材料的电阻-温度关系确定超导体的临界温度．本题图是某种超导材料的电阻-温度曲线．通常把将样品电阻降至时的温度定义为超导转变临界温度．是超导转变开始时样品的正常态电阻，如本题图a所示．本题图b是一种材料的升降温曲线（升降温速率）,本题图c是其局部放大曲线．请在本题图c上用上、下箭头标注对应的升、降温测量曲线，并选择升温的电阻-温度曲线，确定该材料的超导转变临界温度．

(2)本题图是超导体处于超导态的曲线．进入超导态后，超导体可承受的电流是否有上限

A．有上限；

B．无上限．

(3)一种新型材料在高压下实现超导转变，本题图是该材料在不同磁场中的电阻-温度曲线．根据实验结果，说明磁场对超导材料的作用．

测量超导材料的电阻-温度曲线时温度变化范围大，常采用热电偶测温．

热电偶测温的工作原理如下：金属导线和的一端焊在一起用作测温端．它们的另一端各与同种材料的两根导线连接，并将连接点放入温度已知的恒温槽里，用作参考端．用高精度电压表或电位差计从材料导线的两个引出端即可测量热电偶由下式表示的温差电动势：
式中是塞贝克系数，由材料组分决定，是测温端温度，是参考端温度．
实验室常用的低温热电偶是型热电偶，由铜和铜镍合金两种材料组成．根据事先标定好的数据，由温差电动势可以获得待测端温度．
(4)在实验过程中，测温端经常会断开，是否可以使用电烙铁及焊锡将两端焊在一起进行汞的超导转变温度测量     

A．可以；

B．不可以．

(5)厂家一般提供的是基于参考端为的热电偶的温差电势-温度转换表，实际应用时，参考端一般浸入冰水混合物．如果在高、低海拔地区分别用该热电偶测量同样的温度，测量误差哪个大            

A．高海拔地区；

B．低海拔地区

(6)参考端的温度还可用测量精度高但范围窄的热敏电阻温度计进行测量．本题图是一种热敏电阻的伏安曲线，选用该电阻制作的温度计，应该让其工作在什么电流区间？本题图b是该热敏电阻的电阻-温度特性曲线，该热敏电阻具有下列哪些特点      

A．正电阻温度系数；

B．负电阻温度系数；

C．低温区对温度灵敏；

D．高温区对温度灵敏．

(7)根据题3.6图b,计算本题表中的温度值．
表：热敏电阻的电阻-温度关系

	20.0		27.5	32.5
	2479	2241	1840	1521

(8)利用型热电偶测温时，可能存在的误差有          

A．热电偶与被测物体间接接触；

B．热电偶的响应延迟；

C．电压输出端两根引出导线材料不同；

D．热电偶的塞贝克系数太小．

(9)材料构成的两根粗细相同的导线，采用鳄鱼夹与联接时，对测量结果是否有影响     

A．高温有影响；

B．低温有影响；

C．高温没有影响；

D．低温没有影响．

(10)一般采用范德堡四引线法测量超导体的电阻-温度曲线．本题图是制作好的四个电极的待测超导样品．如果要测量其电阻的相对变化，其四个电极应如何与一高精度电压表和一恒流源表相连？请在本题答题纸附图中用连线示意，并说明采取哪些措施可以提高电阻的测量精度？

超导体进入超导态的特征之一是“零电阻”．为了能更精确地确定超导体电阻的上限，通常采用持续电流法．将超导体做成一个闭合环，放在磁场中进行冷却，进入超导态后，撤去外磁场，超导环中会产生感应电流，通过感应电流随时间的变化，可确定超导体电阻的上限．超导环中感应电流产生磁场的大小及变化可以用霍尔元件进行测量．
霍尔测量原理：在载流体薄板上通以电流，沿薄板法线方向施加磁场，载流子受洛伦兹力的作用，就会在与电流和磁场两者垂直的方向上产生电势差，这种现象称为霍尔效应，所产生的电势差称为霍尔电压，如图所示．

若已知，测出,可计算;若已知，测出,可计算,进而确定截流子类型．
(11)本题图是某种新型材料根据图3.11.0测量原理测得的霍尔电阻率（样品厚度、宽、长在不同温度下随磁场变化的结果．请根据实验结果判断该材料在和时的载流子类型．由本题图可看出：同一磁场下，霍尔电阻率会随温度变化反号，请说明原因．从本题图中你还发现哪些现象？

(12)本题图所示霍尔元件制备过程中两电极不对称焊在霍尔片两侧，导致不等位电动势．请问如何消除该不等位电势？

(13)霍尔元件中载流子速率服从统计分布规律，会在薄板两侧形成横向温差，引入温差电动势,该现象称为爱廷豪森效应．该效应建立时间较长，请问如何消除？
(14)本题图a和b分别为持续电流测量装置示意图和测量点磁场随时间变化的实验测量结果．请根据图b,说明曲线不同区域样品的导电性和测量点磁场变化的可能原因．
超导环半径,环与测量点距离,请确定持续电流的大小．
在题图bⅢ区，霍尔元件测得的磁场没有可观察的变化．仪器测量精度可确保在整个Ⅲ区电流变化小于1/1000，样品环内的磁感应强度可近似认为与环心处的相同．请由实验结果估计环状样品在超导态时的电阻（对环形电流而言）阻值上限．

(15)如果样品是圆盘状的，还会产生持续电流吗        

A．会；

B．不会．

(16)本题图a和b分别是测量超导体热电势随温度变化的示意图和测量结果，测量时，低温端始终处于液氮中．附图b中为高温端温度，热电势-温度曲线被划分为三个温区，请说明各温区反映的是样品何种状态下的热电势特征．

液体的体膨胀系数是反映液体性质的重要物理量，其满足如下关系式：
式中是温度时液体的体积．液体的体积通常随温度的升高而增大，但水的体积不是随着温度的升高单调增大．准确测定水的体膨胀系数在工业生产中意义重大．
(1)本题图为利用拉力传感器测量不同温度下水的体膨胀系数的实验装置示意图．实验中将一有机玻璃圆柱体悬挂于拉力传感器下，该圆柱体完全浸没于装满水的容器中，与容器内壁和底部均不接触．圆柱体的质量为,该圆柱体的体膨胀可忽略．不同温度时拉力传感器测得浸没在水中的圆柱体等效质量为．请给出水的体膨胀系数的计算公式（以为参量）．

(2)本题图是拉力传感器测得的随温度变化关系曲线．若容器加水前使用拉力传感器测量圆柱体质量为,请估算待测水样品在附近的和体膨胀系数．

(3)关于上述实验方法中的误差，下列描述正确的是       

A．若拉力传感器存在零位误差会使膨胀系数计算结果偏大．

B．本实验中应选择体积大一些的重物．

C．实验中温度计若存在零度误差并不会给膨胀系数的计算带来误差．

D．本实验中细线受力后的轻微形变对实验没有影响．

E．较快的加热速率可缩短实验时间，对实验测量更为有利．

(4)实际实验中上述方法的测量精确度受到多种因素的限制，利用迈克尔逊干涉仪可更精确地测量水的体积随温度的微小变化．如本题图所示，激光光束经扩束镜后照射在分束镜上，分束镜G₁将入射光束分成两束，两束光分别经过两个反射镜M₁和M₂反射后，在分束镜后方空间相干叠加形成干涉图样．反射镜M₁可沿导轨前后移动．若实验中在迈克尔逊干涉仪观察屏上看到干涉条纹为细密的近似直条纹，此时最可能的状态是     

A．M1和M2两路的光程差较小，M1和M2方向偏离垂直关系较明显．

B．M1和M2两路的光程差较小，M1和M2方向较为接近垂直关系．

C．M1和M2两路的光程差较大，M1和M2方向偏离垂直关系较明显．

D．M1和M2两路的光程差较大，M1和M2方向较为接近垂直关系．

(5)关于实验中观察干涉圆环时的现象与操作，下列说法不正确的是        

A．若想在观察屏上看到的干涉圆环出现更多级次，可以减小两反射镜的光程差．

B．若在观察屏上看到的干涉圆环圆心偏向一边，此时需要减小两反射镜光程差来将圆心调整到屏幕中心．

C．若观察屏上看到的干涉圆环类似椭圆，可以调整观察屏的角度来使其更接近正圆环．

D．若想要在观察屏上看到的干涉圆环更稀疏，可以调整观察屏的前后位置．

(6)利用迈克尔逊干涉测量液体体膨胀系数的装置如本题图所示．激光器出射光经扩束镜后照射到分束镜上分为两束：反射光经M₂反射后射入到漂浮于温控箱容器中水体液面上的反射镜，原路返回至分束镜，其光程为；透射光经反射镜M₁反射后入射到固定于与待测液体容器相距很近的金属块上的反射镜表面，原路返回至分束镜，其光程为s,．两光束在分束镜后相干叠加，用记录干涉图样．若已将装置调整到在记录平面呈现圆环干涉图样，并且干涉圆环的中心光斑的中心光强满足：
式中为激光波长，为常量．若容器的热膨胀可忽略，时容器中水的体积是,圆柱形容器的截面积为,通过测量缓慢升温过程中心光斑光强随时间变化关系可得到光程差随时间的变化关系,通过温度计可测得温度随时间的变化关系．若此时水的体膨胀系数，以和为参数写出的表达式．

(7)本题图1是温度计测到升温过程中水温随时间变化的关系曲线，本题图2是实测到中心光强在升温过程中随时间变化的关系曲线的一段．若本题图2中附近峰位对应的,且附近水的体膨张系数为负值．请在答题纸给出的坐标纸上画出到之间与时间的关系曲线，要求数据点不少于16个．请将所选数据点序号标在本题答题纸附图上，这些点对应的时间和光程差数据填入本题答题纸附表中．

表   选取数据点光程差与时间数据

时间
光程差
时间
光程差

(8)请描述从开始升温之内该反射镜在垂直液面方向的运动过程．
(9)实验中干涉圆环会随着两臂光程差变化而出现吞吐现象．根据2.7中的初始状态条件，请描述从升温到过程中，干涉圆环的吞吐变化情况．
(10)若已知盛水容器截面积为时容器中水的体积为,所用激光波长．请由你在题2.7所附坐标纸上所画的曲线，估算和附近的，利用题2.6中得到的公式计算水在和时的体膨胀系数．

粘滞性是流体内部阻碍各流体层之间相对滑动的特性，又称内摩擦．液体内部以及液体与容器壁之间均存在粘滞力（又称内摩擦力），粘滞系数是表征流体内摩擦大小的物理量．在工程机械、石油石化和医药等领域，常常需要对试样的粘滞系数进行准确测量。
对于粘滞系数较大且较透明的液体，常采用落球法测量其粘滞系数。较深透明容器中盛有密度为的均匀、静止的粘性液体，液面近似为无限宽广（忽略容器壁影响），密度为、半径为的均质小球以较慢的速度在该液体中下落（无转动），其受到的粘滞阻力满足斯托克斯公式：
上式中为小球的运动速度，即为该液体的粘滞系数．
(1)在液面处以静止状态释放小球，小球下落初段为变速运动，最终会趋于收尾速度。请推导小球下落过程速度的表达式（含,时间,和重力加速度）并给出收尾速度的表达式（含和重力加速度）。
(2)测量小球沉降的收尾速度,可以计算液体的粘滞系数．实验中常采用测量小球近似匀速下落一段距离需要的时间来估算收尾速度．常将下落速度达到后的运动认为是近似匀速下落。若粘性液体密度,小球半径,小球密度,液体粘滞系数约为,若小球浸没在液体中释放时,请估算小球下落速度为时的下落距离。

(3)若用落球法测量甘油的粘滞系数时，测得小球的直径为,小球的密度为,小球在甘油中近似匀速下落的时间为,甘油的密度为,重力加速度为。请写出甘油的粘滞系数的计算公式，计算粘滞系数，给出以小球直径d和下落时间为直接测量量时粘滞系数的不确定度表示式，并计算其不确定度。

(4)在用落球法测量液体粘滞系数实验中，液体相对球的运动状态会对粘滞阻力产生影响，常引入无量纲参数雷诺数来表征流体运动状态，其中为小球的下落速度，为该液体的粘滞系数，为小球半径．通常若满足,则无需对前述斯托克斯公式进行雷诺数修正；若,则需对斯托克斯公式进行1阶修正；若,则需进行二阶修正。若在一次落球法实验中，小球半径,粘性液体密度,液体粘滞系数约为,使用高速相机记录的小球下落距离与时间的关系中的一段如本题图所示，此时我们需要进行斯托克斯公式的几阶修正？
(5)用落球法测量液体粘滞系数时，以下哪些因素在其他条件相同时会影响实验结果的准确性

A．小球的直径；	B．液体的温度均匀性；
C．容器的尺寸；	D．释放小球位置的上下偏差

(6)通常液体的粘滞系数强烈地依赖于温度，本题图是某三种液体样品的粘滞系数与温度的关系曲线．请写出你能从图中总结出的经验规律，并对图中粘滞系数与温度关系给出一种微观解释．

(7)若已知题（6）中三种液体的粘滞系数与温度关系均可用公式：
来描述，其中是热力学温度，是玻尔兹曼常数，和是待定系数，清估算其中液体1所满足公式中和的值．
(8)关于落球法测量液体粘滞系数实验的原理和可能出现的误差，下列说法中正确的是     

A．小球在液体中下落时，受到的重力与浮力之差等于粘滞阻力．

B．小球在液体中下落时，应尽量选择较大的匀速区间和较小的容器直径．

C．小球释放时，应尽量选择圆管容器截面中心位置．

D．本实验应选择表面光滑些的小球．

(9)对于透明度较低难以直接测量落球位置的液体，例如原油，在小球中放入加速度传感器可测量下落过程的加速度，通过加速度随时间变化曲线可计算出近似收尾速度，进而得到液体的粘滞系数．本题图是一次实验中获得的小球加速度与时间的关系曲线，请估算小球的收尾速度。

(10)关于在小球中放入加速度传感器的这个实验，以下哪些分析是不正确的      

A．放入加速度传感器后会使球的体积变大，同一容器下，略微变大的小球会使计算得到的粘滞系数偏小

B．为分析加速度变化过程，加速度传感器的采样率越高越好．

C．放入加速度传感器后，重心偏离球心可能导致球更易发生旋转，不影响下落轨迹，计算得到的粘滞系数偏小．

D．若保持小球密度不变，体积变大，达到接近匀速下落需要更长的距离．

假设磁单极子（点磁荷）的磁场满足所谓的磁荷库仑定律，即
其中为真空磁导率，是场点相对于该磁荷所在处的位矢．通常的电磁学理论认为磁单极子不存在，且迄今为止实验上也没有发现磁单极子．1931年，狄拉克提出了一个模型，该模型构造了一根由无数个首尾相接的（磁荷）磁偶极子组成的弦（即狄拉克弦），该弦从一个端点延伸至无限远，如图a左图所示．若将每一个小磁偶极子等效为一个小电流环，则整个狄拉克弦等效为截面相同、均匀密绕的半无限长极细通电螺线管，如图a右图所示．这种等效意味着狄拉克弦上的微元磁偶极矩与螺线管轴线上相应线元的微元磁矩相等，即（见图a）．在这种图像下，螺线管端点处也等效存在一个“磁单极子”，这样引入的磁单极子遵循通常的电磁学规律．以下引入矢势来讨论狄拉克弦及相关问题．
按通常的电磁学理论，磁感应强度的通量可表示为矢势的环量，即
其中为曲面的边界环路．磁矩为的小电流环所激发的矢势为
其中是场点相对于电流环所在处的位矢。

(1)如图b,与狄拉克弦等效的极细通电螺线管端点的磁荷为,从原点沿负轴伸向无穷远。

（i）导出此螺线管在位置处的矢势的表达式。
提示：任意常数。
（ii）对于图中以轴为轴线、球坐标固定的有向圆形环路,请先计算矢势的环量，再按磁荷库仑定律计算点磁荷的磁场通过以圆环为边界的圆面的通量（面元法向沿轴正向，且与环路绕向成右手螺旋关系。不考虑情形），并比较与的异同（如有差异，请分析差异的来源）
(2)从原点沿负轴延伸的、与狄拉克弦等效的极细通电螺线管中，其电流为低频交变电流，已知螺线管的横截面积为,单位长度匝数为．
（i）求原点处的等效磁荷。
（ii）将一单位长度电阻为的导线弯成正三角形回路，其边长为。该三角形位于的平面上，螺线管穿过其中心，如图c所示。求此三角形回路的平均热功率。不考虑辐射以及三角形回路的自感。

提示：可考虑正三角形对所张的立体角．
(3)阿哈罗诺夫玻姆效应（即效应）的实验证明：即使在磁感应强度为零的区域，也可能会因为出现磁效应．它揭示了磁矢势的物理意义．用自由电子双缝干涉实验可验证效应．在该实验中，双缝（缝宽很小）与屏之间的距离为,双缝间距为；一根无限长的极细直螺线管垂直放置于电子经过双缝后的路径之间，其单位长度匝数为，横截面积为,如图d所示．电子源发出的自由电子的动量大小为、电荷为,若螺线管中的电流从0变化到，求中心亮条纹在屏上移动的距离．已知动量为的电子在矢势场中的波矢为,其中为约化普朗克常量．

在制作玻璃时通过掺入熔融的金属（如金、银、铜等），可以制成彩色的玻璃。这些金属颗粒中的电子在光的电场驱动下，对入射白光中的特定频率成分产生共振吸收，导致光在此频率附近的成分转化为热，从而使透过玻璃的光呈现出颜色。这种共振称为等离激元共振。
(1)考虑真空中一个半径为、相对介电常数为的均匀介质球，将其置于匀强外电场中。试求稳定后球内的电场强度和球的电偶极矩。已知均匀介质球在均匀外场中是均匀极化的，真空介电常量为。
(2)考虑一块均匀金属导体，其导电电子数密度为、质量为、电荷量为,电子在外场作用下定向漂移速度为时，被晶格散射的平均作用等效为一阻力,为阻力系数。不考虑电子间的相互作用。
（i）若此金属导体中有匀强恒定电场,试求稳定后金属内的电流密度,以及此金属的电导率。
（ii）若此金属导体中有振幅为、圆频率为的匀强交变电场,电子将会运动形成电流．若稳定后金属内的电流密度表示为,记，可类比交流电的复数表示引入复电导率,在复数形式下金属内复电流密度和复电场强度的关系可表述为。求此金属的复电导率的表达式（用和参量表示）。
在上述匀强交变电场中，电子将会整体同步地运动，可类比电介质定义金属导体中的极化强度。在复数形式下金属内复极化强度和复电场强度的关系可表述为,其中为复极化率。进而可引入复电位移矢量和复相对介电常数。求此金属的复相对介电常数的表达式（用和参量表示）。
(3)用上述金属导体制成半径为的纳米球形颗粒，放入圆频率为的平面简谐电磁波中，其电场振幅大小为,波长远大于。只考虑金属颗粒在电场中的极化，且在复数形式下可与第（1）问中介质球的极化类比．已知,不考虑电磁辐射。
（i）试求稳定后金属纳米颗粒内的电场振幅大小;当,时达到最大，发生等离激元共振，试求共振圆频率（为简单起见，求时可取）。
（ii）试求共振时该颗粒内的电场振幅大小,以及共振时该颗粒内的平均发热功率。（考虑到,略去的高阶小量）

黑洞是广义相对论预言的奇异天体，其宏观性质由质量、角动量和电荷完全决定．对于一个、质量为的球对称简单黑洞（施瓦西黑洞），可以定义一个以黑洞中心为球心、半径为的球面（称为视界）．按照经典理论，视界以内所有物质都无法逃离黑洞．
(1)按照牛顿力学，如果一个粒子在质量为的球对称天体表面的逃逸速度恰好等于真空中的光速,此天体即为黑洞．试导出该天体半径的表达式．已知太阳质量约为,引力常量,真空中的光速,试问太阳半径至少收缩到多少时它将成为黑洞？
(2)以上由牛顿力学得到的恰好与广义相对论给出的同质量黑洞的视界半径结果一致．
按照贝肯斯坦和霍金的理论，黑洞的熵正比于其视界面积,即
其中是约化普朗克常量，是玻尔兹曼常量．当两个质量均为的简单黑洞塌缩成一个质量为的简单黑洞时，求黑洞系统的熵的改变量（结果不含）．
(3)对于一个绝对温度为、质量为的简单黑洞，其内能和熵满足基本热力学关系．按照相对论，黑洞的内能由爱因斯坦质能关系给出．试由此导出黑洞温度与其质量之间的关系式，并计算此黑洞的热容．
(4)假设有一可逆热机工作在初始质量分别为和的两个简单黑洞之间，已知,求该热机从开始至最终的全过程对外所做的总功．
(5)按照量子力学，霍金提出黑洞表面（即黑洞视界）可以向外辐射电磁波，且此辐射可以等价为与之同温度的黑体辐射，称为霍金辐射．求霍金辐射功率与黑洞质量之间的关系．已知斯特藩-玻尔兹曼常量．
(6)由于发生霍金辐射，黑洞能量将减少，从而其质量随时间变小．令黑洞的初始质量为,不考虑其它因素，求该黑洞由于霍金辐射而最终消失所需要的时间．

当两个原子之间的距离较小时，两者之间的相互作用表现为强的排斥；距离较大时，其相互作用表现为弱的吸引．大量原子可通过此相互作用结合成晶体．温度趋于时，原子排列为周期性的空间点阵，处于力平衡状态；温度高于时，原子将在平衡位置附近做小幅振动．考虑由质量为的同种原子组成的立方晶体，试用如下模型讨论原子如何结合成晶体以及晶体中原子振动对其热学性质的影响．
(1)距离为R的两个原子之间的相互作用势能可以近似表示为伦纳德-琼斯势
其中表征相互作用强度，表征力程．假设平衡时原子排列在立方点阵的顶点上，即原子的平衡位置为

其中是晶格常数．为简单起见，假设伦纳德-琼斯势的形式在晶体熔化前一直成立，参量和也视为不变．试导出晶格常数的表达式．计算结果中可包含如下常数：
其中是任意正整数，表示对所有不全为零的求和．
(2)试计算近邻原子、次近邻原子和次次近邻原子分别对值的贡献．
(3)严格求解晶体中原子在平衡位置附近的小幅振动是非常复杂的．为简化起见，爱因斯坦假设原子的运动互不干扰，即考虑任意一个原子的振动时，假设其它原子都静止于各自的平衡位置处．在此模型下，求上述晶体中每个原子的小幅振动的圆频率（结果可包含和）．
以下假设爱因斯坦模型（包括上述关于圆频率的结果）仍然可适用于大振幅的情形：
(4)原子按振动状态的分布为玻尔兹曼分布：当绝对温度为时，原子的动量大小在内、相对于平衡位置的位移大小在内的概率正比于
其中是动量大小为、位移大小为时原子的能量，是玻尔兹曼常量．已知阿伏伽德罗常数为,试计算上述晶体的定容摩尔热容（须有必要的推导过程）．
(5)原子振动的振幅随温度升高而增大．按照林德曼判据，当偏离平衡位置的距离的平均值大于时，晶体就会熔化，其中为常数（量级为0.1）．试导出晶体熔点的表达式（结果可包含和）．