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假设磁单极子（点磁荷）的磁场满足所谓的磁荷库仑定律，即
其中为真空磁导率，是场点相对于该磁荷所在处的位矢．通常的电磁学理论认为磁单极子不存在，且迄今为止实验上也没有发现磁单极子．1931年，狄拉克提出了一个模型，该模型构造了一根由无数个首尾相接的（磁荷）磁偶极子组成的弦（即狄拉克弦），该弦从一个端点延伸至无限远，如图a左图所示．若将每一个小磁偶极子等效为一个小电流环，则整个狄拉克弦等效为截面相同、均匀密绕的半无限长极细通电螺线管，如图a右图所示．这种等效意味着狄拉克弦上的微元磁偶极矩与螺线管轴线上相应线元的微元磁矩相等，即（见图a）．在这种图像下，螺线管端点处也等效存在一个“磁单极子”，这样引入的磁单极子遵循通常的电磁学规律．以下引入矢势来讨论狄拉克弦及相关问题．
按通常的电磁学理论，磁感应强度的通量可表示为矢势的环量，即
其中为曲面的边界环路．磁矩为的小电流环所激发的矢势为
其中是场点相对于电流环所在处的位矢。

(1)如图b,与狄拉克弦等效的极细通电螺线管端点的磁荷为,从原点沿负轴伸向无穷远。

（i）导出此螺线管在位置处的矢势的表达式。
提示：任意常数。
（ii）对于图中以轴为轴线、球坐标固定的有向圆形环路,请先计算矢势的环量，再按磁荷库仑定律计算点磁荷的磁场通过以圆环为边界的圆面的通量（面元法向沿轴正向，且与环路绕向成右手螺旋关系。不考虑情形），并比较与的异同（如有差异，请分析差异的来源）
(2)从原点沿负轴延伸的、与狄拉克弦等效的极细通电螺线管中，其电流为低频交变电流，已知螺线管的横截面积为,单位长度匝数为．
（i）求原点处的等效磁荷。
（ii）将一单位长度电阻为的导线弯成正三角形回路，其边长为。该三角形位于的平面上，螺线管穿过其中心，如图c所示。求此三角形回路的平均热功率。不考虑辐射以及三角形回路的自感。

提示：可考虑正三角形对所张的立体角．
(3)阿哈罗诺夫玻姆效应（即效应）的实验证明：即使在磁感应强度为零的区域，也可能会因为出现磁效应．它揭示了磁矢势的物理意义．用自由电子双缝干涉实验可验证效应．在该实验中，双缝（缝宽很小）与屏之间的距离为,双缝间距为；一根无限长的极细直螺线管垂直放置于电子经过双缝后的路径之间，其单位长度匝数为，横截面积为,如图d所示．电子源发出的自由电子的动量大小为、电荷为,若螺线管中的电流从0变化到，求中心亮条纹在屏上移动的距离．已知动量为的电子在矢势场中的波矢为,其中为约化普朗克常量．