学进去

如图：在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，若OA、OB的长分别是方程若的两根且OB＞OA，AB=10，AC平分∠BAO交x轴于点C．

(1)求A、B两点的坐标；
(2)直线AC的解析式；
(3)直线AC上是否存在点P，使A、B、P三点构成的三角形为直角三角形？若存在,请直接写出P点坐标；若不存在,请说明理由．

问题提出：
（1）如图（1），是边长为4的等边三角形，D是边上一点且平分的面积，则线段的长度为 　 　；
（2）如图（2），的半径为，弦，P是上一动点，试判断的面积是否存在最大值．若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图（3），某市要规划一块形状不规则的四边形公园，满足米，米，，．规划局打算过B点修一条笔直的小路，把四边形分成面积相等且尽可能大的两部分，分别规划成不同的景观以供市民休闲观赏．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，求出小路的长；若不存在，请说明理由．

【问题情境】：
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中宽．

(1)【动手实践】：
如图1，威威同学将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形，则折痕的长度为______．
(2)【探究发现】：
如图2，胜胜同学将图1中的四边形剪下，取边中点，将沿折叠得到，延长交于点．点为边的中点，点是边上一动点，将沿折叠，当点的对应点落在线段上时，求此时的值；
(3)【反思提升】：
明明同学改变图2中点的位置，即点为边上一动点，点仍是边上一动点，按照（2）中方式折叠，使点落在线段上，明明同学不断改变点的位置，发现在某一位置与（2）中的相等，请直接写出此时的长度．

如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，．
   
(1)求抛物线的表达式．
(2)点，在第四象限内抛物线上，点在点下方，连接，，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式．
(3)如图，在（）的条件下，连接交于点，过点作于点，连接，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q．

（1）求的值：
（2）当时，求的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．

在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，．
   
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点在上，点在上，连接、，且，过点作的垂线，垂足为点，设点的横坐标为，，线段的长为，求与之间的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交轴于，连接，点是的中点，连接，当时，求的面积．

如图1，在一平面内，线段，，是线段上两点，且，点从点开始向终点运动，分别以，为边在线段同侧作等边和等边，设．

(1)直接写出和位置关系：______；
(2)如图2，连接，，求证：；
(3)如图3，点，点分别是，的中点，
①求当为何值时，线段取得最小值？最小值是多少？
②当线段取得最小值此时，求的面积；
(4)如图4，设的中点为，则点移动路径的长为______．

如图1，抛物线：经过点A（1，0）和点B（5，0）．已知直线l的解析式为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
(3)如图2．当k＝2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值．
(4)如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为．
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围．

南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础；每到春季，上山赏花的人络绎不绝，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C种花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 _____．

【模型引入】
我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．


【模型探究】
如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．
（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．
【模型应用】
（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有     个．
（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②DE＝CF；③S_△AEM＝S_△MCF；④BE＝DE+BF；正确的结论有      个．
【模型变式】
（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN
（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．
【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．
（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是　 　．