学进去

空间中距坐标原点处有一质量为，带电量为q的质点，空间中存在均匀的磁场B，且存在以O为圆心电荷密度为半径为的球形区域。
（1）求空间中的电势及电场分布（忽略点电荷q的影响）。
（2）试证明为运动中的守恒量，并求出的值。
（3）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，试求质点所能达到的最远距离及最近距离，，在本题中，认为质点始终不超过半径为的球形区域。
（4）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，且，试求极坐标下粒子的位置随时间的关系， 认为质点始终没有进入半径为R的球形区域。

如图所示为磁流体发电机的示意图，平行金属板A、C组成一对平行电极，两板间距为d，面积为S。两板间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束等离子体（带有正、负电荷的粒子）以一定的速度v平行金属板、垂直于磁场射入两板间，两板间连接有定值电阻R等离子体的电阻率为ρ则下列说法正确的是（　　）

A．电阻中的电流方向由a到b

B．电阻R的电功率为

C．电源的总功率为

D．增大两金属板的正对面积可增大发电机的电动势

如图所示，静置于光滑平面的一质量为 的物体上有一个向下凹陷的旋转椭球面。其竖直方向截面的椭圆的半长轴为b，半短轴为a。在其边缘从静止释放一个质量为m的小球。忽略所有可能的摩擦。
（1）当小球从静止释放后相对地面的位移为x的时候，求小球相对于地面的速度大小。
（2）请接着求出小球的加速度。

光线的反射看起来与牛顿力学的弹性碰撞没有什么关系，但实际上并不是这样
（6.1）如图所示的光学系统中，两反射面以夹角相连，一束光平行于一个反射面入射，试求光线的反射次数与的关系，再考虑这样的一个系统，将质量分别为，的滑块按如图所示的方式摆放在光滑地面上，给予一个向左的速度v，之后，之间，与墙之间将发生数次完全弹性碰撞，记上述碰撞次数总和为。
（6.2）取，计算。
（6.3）建立坐标系，其中，，其中为右端距墙面的距离，为左端距墙面的距离，请定性在坐标系中作出描述，运动的图像，要求作出：坐标轴；，发生碰撞条件；和墙发生碰撞的条件；，的运动，用带箭头的线段表示运动路径，用表示碰撞点，用表示运动先后，若轨迹有重合，请稍微错开。
（6.4）从（6.3）中，或许你已经感受到了碰撞与光反射的相似性，若，在上述坐标系中作出表示，第一次碰撞的曲线，用、分别表示第一次碰撞发生前后曲线与，发生碰撞条件的夹角（用参量，，表示）
（6.5）由此看来，好像简单的反射定律已经不再适用了，不过没有关系，我们重新令：，，重新在坐标系中作出：，发生碰撞条件；和墙发生碰撞的条件，并写出表示坐标系中对于，碰撞条件最重要的参量（用参量，，v表示）
（6.6）在以上坐标系中，碰撞过程动量守恒在坐标图中代表什么，与光反射有何相似之处，做出说明并给出证明；碰撞过程能量守恒在坐标图中代表什么，与光反射有何相似之处，做出说明并给出证明；取，在坐标系中作出描述，运动及碰撞的图像，用带箭头的线段表示运动路径，用表示碰撞点，用表示运动先后，画出三次碰撞即可。
（6.7）现在我们可以来解决实际问题了，取的近似条件，试求的值；特别的，当时，求值，当时，求值，再求。

在足够粗糙的水平面上放置有一质量为M，半径为R的圆筒，圆筒的内表面光滑。考虑圆筒内放置一个质量为2m的匀质刚性折杆，折杆的夹角为。折杆的两边长度都和圆筒半径相等。
（1）若初态折杆端恰好位于同一竖直线上，且系统初态静止；试求系统释放后瞬间折杆角加速度，试求释放后当边恰好达到竖直时折杆的角速度；
（2）若初态折杆端恰好位于同一水平线上，且系统静止。此时对折杆施加微小扰动，试求系统振动频率

以下反应是高能物理早期的一个重要反应： 在这个反应中，来自加速器的高能质子撞击静质子而产生介子和氘核D。已知质子、 介子和氘核D的静止质量分别为：
（1）计算实验室参照系中入射质子动能的阈值，即，使上述反应得以进行的最小入射质子动能。
（2）假定入射质子的动能为第（1）问中求得的阈值的两倍，试计算该反应中产生的介子的动量的可能的最大值。
（3）续第（2）问，设在质心系中这一反应是各向同性的，即在质心系中任意方向单位立体 角内产生一个介子的概率相同。求：在实验室参照系中，在质子入射方向上单位立体角内产生一个介子的概率。

位力定理的证明
（1）我们定义这样一个量：求和是对整个多质点的系统进行的，其中是第个质点的动量，是第个质点的位置矢量。我们把对时间求导，我们假设这个系统是处于周期性的稳态下的，求对时间的导数的时间平均值。
（2）我们假设这个系统的相互作用势能的形式如下。那么请讨论系统总动能和总势能之间满足的数学关系。
（3）接上小问，请求出在天体系统和弹簧系统中的数学关系。
（4）本小问讨论位力定理在热力学系统中的应用。
①利用上一问的结论，请推导出理想气体压强和分子平均动能，分子数密度的关系。我们假设理想气体分子之间没有任何的相互作用。
②接上小问，请推出光子气体系统中的压强和分子平均动能，分子数密度的关系

我们知道电感有自感和互感。 虽然我们有“互电容”的概念，但是其并不能与互感很好地对应。 我们现在来构造一种与互感相对应的概念“互容”：若两个电容器的电容量分别为 和 ， 且它们之间的互容系数为 ， 则 ， 且 。考虑四块的面积为 的平行极板， 依次编号为 a–d。 极板 a 和极板 c 看作一个电容器， 极板间距为 ； 极板 b 和极板 d 看作一个电容器， 极板间距为 ； 极板 b 和极板 c 的间距为 。 其中 ， 且 。
（1）求这两个电容器之间的互容系数。
（2）设有两个 LC 电路， 电路中分别有电容 与 ， 电感 与 。 两个电容之间的互容系数为 ， 两个电感之间的互感系数为 。 求电路的振动频率。 若该振动由多个频率不同的简谐振动叠加而成， 求出所有的频率。

某地铁站的出入站闸机采用三锟闸设计。 三锟闸是这样一种装置∶ 考虑三维空间中的三根长度均为 l 的细硬轻杆， 每根杆都有一端被固定在点 O 处， 且它们两两之间的夹角被固定为 。 显然存在一条过 O 的轴 z 使得三锟闸绕 z 轴有 旋转对称。 z 轴与地面的夹角被适当地选取， 以至于三锟闸在初始状态可以与地面达成这样一种相对位形∶ 其中一根杆与地面平行， 另外两根杆的自由端的连线也与地面平行。 有一堵固定在地面上的墙， 其位置满足∶ 在初始状态下， 三锟闸的水平杆垂直于墙， 且墙面紧贴在水平杆的自由端。 将通过闸机的人简化为刚性长方体。 人通过闸机的过程中， 长方体推动三锟闸绕 z 轴转动， 长方体的一个面紧贴地面， 另一个面紧贴墙面。长方体足够高。
（1）求满足以下条件的长方体的最大宽度 ∶ 人能完全通过闸机， 且长方体的厚度可以任意大。
（2）接上问， 若长方体的宽度大于 ， 求满足以下条件的长方体的最大横截面积∶ 人能完全通过闸机。 只需写出它是什么函数在什么区间上的最大值即可。
（3）长方体的宽度为 。 人在完全通过闸机的过程中， 与杆之间存在滑动摩擦， 摩擦系数为 。 在三锟闸的转轴内有滑动摩擦力矩， 其大小恒定为 K。 求人在缓慢地完全通过闸机的过程中， 对杆做的功。 可以保留积分。

下图是车的简化模型，该车前后各有一圆柱体作为轮子，轮子结构如图。每个轮子的质量为，圆柱轮由外半径为，内半径为，质量为的圆柱壳和总质量为的8根辐条组成。质量为的车身对称地架在轮子上（车身与轮轴之间是固定的，其长为，厚度为。前后轮中心之间间距为，圆柱轮中心到车身底部距离为。忽略圆柱轮与轴之间的摩擦和支撑车身架子的质量。重力加速度为，轮子与地面的静摩擦系数与动摩擦系数均为。
（1）通过量纲分析可知每一个圆柱车轮转动惯量，求的值（用分数表示）；（之后涉及有关圆柱车轮转动惯量的量均用表示不用带入具体数值）
（2）现在考虑车刹车时刹车片给前轮的阻力矩为。假设没有轮子脱离地面。引入无量纲常数，若前后轮均做纯滚动，求刚刹车时加速度，前后轮均做纯滚动时，满足的条件，以及没有轮子脱离地面的条件；
（3）若前轮纯滚动、后轮滑动，求刚刹车时加速度，前轮纯滚动、后轮滑动时满足的条件，能达到前轮纯滚动、后轮滑动时满足的条件，以及没有轮子脱离地面的条件；
（4）若前后轮均滑动，求刚刹车时加速度。