与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，抛物线的对称轴交轴于点
．过点作直线
轴，连接
，过点作
，交直线
于点
，作直线
．
的函数表达式；
为抛物线上第二象限内的点，设点的横坐标为
，连接
与交于点
，当点为线段的中点时，求；
为轴上一个动点，点
为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 
中，
，
，
．
进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点
与点
重合，然后展开铺平，得到折痕 
；第二步：然后将
绕点顺时针方向旋转得到
，点 
的对应点分别是点
，直线
与边
交于点（点不与点重合），与边
交于点．的长为 ．绕点 旋转的过程中，试判断
与
的数量关系，并证明你的结论．绕点旋转的过程中，探究下列问题：
如图
，当直线经过点时，
的长为 ．
如图
，当直线
时，求的长．绕点 旋转的过程中，连接
，则的最小值为 ． 
的图像经过点
，
．
，
都在此抛物线上，且
，
，比较
与
的大小，并说明理由；的坐标为
，点的坐标为
，若线段
与该函数图象恰有一个交点，直接写出
的取值范围． 抛物线
可以写成
的形式，且函数图像轴交于，两点（，不重合），与轴交于点．
______；
时，图像如图1所示．①试判断
的形状并说明理由；
②抛物线上有一动点，且点的横坐标为
，过点作
轴交直线
于点，设
，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
为直径画圆，交直线于点，连接
，当
时，请直接写出
的取值范围． 折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．
【实践操作】
操作1：将矩形纸片
对折，使
与
重合，得到折痕
，把纸片展平；
操作2：在上选一点，沿
折叠矩形，使点正好落在折痕上的处．
（1）根据以上操作，写出图1中一个
的角：______（不添加辅助线与新字母）；
【迁移探究】
如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和
相交于点．
（2）连接
，判断和的位置，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着
折叠，使得点的对应点落在边上的点
处，连接
，
为
的中点，连接
交、于点、两点．当
时请求出
的正弦值．
如图，矩形
的边
，点E在
上，且
，P为直线CE上一动点，则
的最小值为
【建立模型】(1)如图
，点是线段上的一点，
，
，
，垂足分别为，，，
．求证：
；
【类比迁移】(2)如图，一次函数
的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转
得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线
与轴交于，两点
点在点的左侧
，与轴交于点，已知点
，
，连接．抛物线上是否存在点，使得
，若存在，求出点的横坐标．
轴上，点B在轴上，
，连接，过点O作
于点
，过点作
轴于点
；过点作
于点
，过点作
轴于点
；过点作
于点
，过点作
轴于点
；…；按照如此规律操作下去，则点
的坐标为
，
．
，求GC的长． 
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