学进去

卢瑟福粒子散射实验揭示了原子的核式结构．利用粒子散射实验可确定材料靶原子的种类、浓度及其深度分布等信息．典型的实验装置示意图如图a所示，一束粒子入射到待测材料靶（例如金箔）上，测量不同角度方向上散射粒子的数目。
       
（1）粒子可以通过放射性元素的衰变获得．静止的（钋）衰变到（铅），同时放出动能为的粒子。试写出此衰变过程的反应式，并计算衰变末态粒子的总动能（单位取，保留两位有效数字）。
（2）如图b，质量为、电荷为、动能为的粒子从远处沿某直线入射，该直线与靶核A的距离为（瞄准距离）。该粒子被核电荷数为的原子核散射后，其在远处的运动方向与远处入射方向之间的夹角为（散射角）．靶核A可视为始终静止不动，求与之间的关系。
（3）在粒子散射实验中，入射的实际上是一束粒子流，其束流强度为（单位时间内、单位横截面积上入射的粒子数）。散射粒子的角分布相对于过且与粒子远处入射方向平行的直线是轴对称的，在以靶核为中心的环带立体角元内，单位时间出射的粒子数正比于，其中具有面积量纲，称为微分散射截面．求的表达式（其中不可含有参量）。
（4）实验上利用加速器获得动能不同的粒子与金原子核发生散射．在散射角时测得的微分散射截面（相对值）与入射粒子动能的关系如图c所示，实验数据在粒子动能为处出现拐点。试解释该拐点出现的原因，并计算该情形下粒子到金原子核的最小距离．已知,金原子的核电荷数为79。金原子核可视为始终静止不动。
（5）在图a所示的粒子散射实验中，由于粒子源或探测器（荧光屏和显微镜）的遮挡，无法实现散射角为左右的测量．试提出一个方案，以实现散射角为的测量，并画出实验方案示意图。

如图,一根长度为、质量为的匀质刚性细杆可绕过其一端的水平轴转动．只考虑杆在垂直于转轴的竖直平面内的运动，用杆与竖直向下方向之间的夹角（，以逆时针方向为正）作为描述杆位置的坐标．忽略空气阻力和转轴的摩擦阻力．重力加速度大小为．
已知杆的转轴在竖直方向上作小振幅高频简谐振动，振动方程为,振幅,圆频率．在随转轴同步平动参考系中讨论杆的运动．

(1)试写出满足的动力学方程．
(2)可表示为和之和，其中表示平稳运动，表示圆频率为的高频小幅简谐振动．考虑到（即和的特征频率相差若干个量级），在变化的一个周期内，可视为不变；高频运动对平稳运动的影响可以由其在一个高频运动周期内的平均效果表示．在以上条件和近似下，导出满足的动力学方程．
(3)由满足的动力学方程可知，杆的平稳运动等效于杆在一保守场中运动，试求相应的有效势能（取处势能为零）．
(4)根据有效势能,试确定杆的平衡位置，并讨论各平衡位置的稳定性（不考虑参数取临界值时的情况）；试求杆在各稳定平衡位置附近做小幅振动的频率．
(5)初始时，杆位于转轴的正下方，其初角速度．要使杆能运动至转轴的正上方，应大于一个临界值，试求；当时，求杆能运动到的最大角度．

雨过天晴，空气内悬浮着大量小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察者便可能观察到彩虹（图a）．有时会同时出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（1级虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；在主虹外边较暗的虹称为副虹或霓（2级虹），它来自阳光在水滴内的两次反射．光线在水滴内还可能发生三次及以上的反射，并产生相应级次的虹．在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在实验室环境下呈现．
   
考虑一个球形水滴，直径为量级．如图b，一根入射光线与球心确定一个平面，该平面与球形水滴表面相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光都在此平面内．把光线在水滴内经过次反射后的出射光称为级光，出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图b）．
(1)已知入射光线在水滴外表面上的入射角为,空气和水的折射率分别为1和．试求级光的偏向角的表达式．
(2)当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图c）．当入射角变化时，级光的偏向角有一极小值,试求及其对应的入射角的表达式．
(3)由于色散，不同波长的光在水中的折射率不同．对于确定的入射角，试求级光偏向角对折射率的变化率与入射角的关系式，并求当取第（2）问中的时的表达式．
(4)图c是单色平行光照射到水滴后出射的1级光示意图，在1级光偏向角极小值附近出射的光线较为集中，即光强较大，此处出现1级虹，相应偏向角的极小值为1级虹的偏向角，类似地为级虹的偏向角．当白光平行入射时，取红光和紫光在水中的折射率分别为和,试分别计算和级虹的偏向角和以及虹的角宽度，并分别指出它们从内到外颜色排列的次序．角度的计算结果以度（°）为单位，精确到．
(5)透过偏振片观察彩虹，可发现彩虹的光是偏振光．设入射到水滴的光为单色自然光，出射光中偏振（偏振方向垂直于入射面）的光强为，偏振（偏振方向平行于入射面）的光强为,光的偏振度定义为．当入射光为红光时，试分别计算和级虹出射光的偏振度．
提示：当光从折射率为的介质射向折射率为的介质，入射角和折射角分别为和，对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为
对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为
(6)在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹，该现象称为“附属虹”，如图d所示．试定性解释附属虹产生的原因．
   

如图所示，劲度系数k = 100N/m的弹簧一端固定于地面上，另一端连接绝缘物体A，物体B置于A上不粘连，A不带电，B的带电量，A，B质量均为2kg且都可看质点，整个装置处于静止状态。物体B正上方有一带圆孔的挡板，质量为4kg的不带电绝缘物体C放于圆孔上方不掉落，现在挡板与地面之间加上竖直向上、大小的匀强电场使A、B开始运动，A、B分离时，A在某装置作用下迅速在该位置处于静止状态，B下落与A碰撞时撤去该装置，之后不再对A作用；A、B分离后，B向上运动并与C发生碰撞，且以后每次碰撞前C均已静止在圆孔上方。已知弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为，B与A、C碰撞时为弹性碰撞且没有电荷转移。求
（1）A、B两物体从开始运动到分离时上升的高度；
（2）B下落与A第一次碰撞结束时，物体A的速度大小；
（3）从B与A第一次碰撞开始，物体A运动的总路程。

如图所示，一足够长的平直木板C静止在光滑水平面上，现有两小物块A和B分别以2v₀和v₀的水平初速度从长木板C两端滑上长木板。已知物块A、B与长木板C间的动摩擦因数均为，A、B、C三者质量相等，重力加速度为g。求：
（1）A、B刚滑上C时，A、B、C的加速度大小；
（2）物块B相对于木板C静止时，A的速度大小；
（3）物块A、B开始滑上C到A、B都静止在C上为止，经历的时间以及B通过的位移。

如图所示，一长木板B质量m=1.0kg，长L=9.2m，静止放置于光滑水平面上，其左端紧靠一半径R=5.5m的光滑圆弧轨道，但不粘连。圆弧轨道左端点P与圆心O的连线PO与竖直方向夹角为53°，其右端最低点处与长木板B上表面相切。距离木板B右端d=6.0m处有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量m=1.0kg的滑块D。平台上方有一水平光滑固定滑轨，其上穿有一质量M=2.0kg的滑块C，滑块C与D通过一轻弹簧连接，开始时弹簧处于竖直方向。一质量m=1.0kg的滑块A被无初速地轻放在沿顺时针转动的水平传送带左端。一段时间后A从传送带右侧水平飞出，下落高度H=3.2m后恰好能沿切线方向从P点滑入圆弧轨道。A下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板B，带动B向右运动，B与平台碰撞后即粘在一起不再运动。A随后继续向右运动，滑上平台，与滑块D碰撞并粘在一起向右运动。A、D组合体随后运动过程中一直没有离开水平面，且C没有滑离滑轨。若传送带长s=6.0m，转动速度大小恒为v₀=6.0m/s，A与木板B间动摩擦因数为μ=0.5。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。重力加速度g=
（1）求滑块A到达P点的速度大小v_P；
（2）求滑块A与传送带间的动摩擦因数大小需满足的条件？
（3）若弹簧第一次恢复原长时，C的速度大小为2.0m/s。则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大？

猎豹是一种广泛生活在非洲大草原上的的大型猫科肉食性动物，捕猎时能达到最大时速30。在一次捕猎过程中，猎豹发现它的正前方200m的地方有一只羚羊，开始以加速度加速至最大时速追击羚羊，羚羊在猎豹起跑3s后察觉后方有天敌追击自己，就以加速度加速至最大时速25向正前方逃跑。现为了简便处理不考虑现实中猎豹和羚羊存在的转弯动作，两者均可看作质点且只做直线运动。
（1）求猎豹在其加速过程中所用的时间和位移；
（2）求猎豹开始追击羚羊捕猎后第4s末，猎豹与羚羊之间的距离；
（3）若猎豹以最大时速追捕猎物的生理极限时间为20s，后筋疲力尽以5做减速运动，羚羊一直按照最高时速逃跑，根据所学知识计算分析本次猎豹是否能捕猎成功。

交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行，绿灯结束时，车头已越过停车线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8m，当绿灯显示“60”秒时，每辆车同时启动并做的匀加速直线运动，加速到后匀速运动。
（1）求汽车从静止加速到v₁的时间及位移大小？
（2）为了缓解早高峰期间堵车问题，该红绿灯处，在停止线前24m加入待行区域。在绿灯亮起前4秒，汽车开始启动并驶入待行区域。引入该举措相比原本绿灯亮起时才能通行，绿灯结束时多通过停止线的汽车数量？
（3）通过路口一段时间后，同一条车道上，一辆卡车以的速度做匀速直线运动，当卡车发现前方有障碍物时，立即以加速度刹车。此时距离卡车后方17.5m位置处，一辆轿车正以的速度做匀速运动。发现卡车刹车后，经过的反应时间后，开始刹车。问轿车刹车的加速度至少为多大才能避免两车相撞？

电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C．两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：

（1）磁场的方向；
（2）MN刚开始运动时加速度a的大小；
（3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少．

如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道。质量为的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为。以水平轨道末端点为坐标原点建立平面直角坐标系，轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，弧形轨道端坐标为，端在轴上。重力加速度为。
（1）若A从倾斜轨道上距轴高度为的位置由静止开始下滑，求经过点时的速度大小；
（2）若A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过点落在弧形轨道上的动能均相同，求的曲线方程；
（3）将质量为（为常数且）的小物块置于点，A沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），要使A和B均能落在弧形轨道上，且A落在B落点的右侧，求A下滑的初始位置距轴高度的取值范围。