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勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
              
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
              
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．
       

如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线AB交x轴于点，交y轴于点，tan∠BAO＝，AB＝15．

（1）求直线AB的解析式；
（2）点C在BO上，∠CAO＝∠ABO，点P在OA的延长线上，设P点纵坐标为m，△PAC的面积为S，求出S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点D在x轴负半轴上，∠DPO＝2∠CPO，CE⊥PD于E，CE交PO于F，若PF＝OD＋4，求P点坐标．

已知，在中，，点是的中点，点是边上一动点（点不与，，重合），连接．过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为点和点，连接，．

(1)如图1，当时，猜想线段和之间的数量关系是______，位置关系是______．
(2)如图2，当时，判断上述（1）中结论线段和之间的数量关系是否成立，若成立请说明理由．
(3)如图3，当，若，，且是等腰三角形，请直接写出线段的长．

观察图形，完成下列问题．

(1)【动手证明】如图1：四边形的两条对角线，交于点，若，求证：；
(2)【尝试应用】如图2，在中，，，，分别以，为边向外作两个等腰直角三角形和，使得，连接，求的长；
(3)【拓展提高】如图3，四边形是菱形，对角线，交于点，点是和的中点，点是和的中点，连接，并延长交于点．若，求菱形的周长．

（1）如图①所示，M、N分别为菱形边、的中点，点Q为对角线上一动点，若，，求的最小值．
（2）如图②所示，四边形是一块园区，已知，，，现计划在园区内修三条小道连接A、C，线段、是要修的三条道路，要求，，，且要所修道路、之和最短，试求此时的长及点N到的距离．
   

如图，的直径AB，垂直平分OA，AB延长线上一点E，DE交圆O于F，且．弦DH交OC于G，满足，，AC长为（       ）

A．

B．

C．2

D．

如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（       ）

A．①②④⑤

B．①②③⑤

C．①②③④

D．①③④⑤

如图，在中，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接，在射线上截取，以为邻边作菱形，设运动时间为t秒．

(1)当时，求菱形的面积．
(2)当的面积为菱形面积的时，求t的值．
(3)作点B关于直线的对称点．
①当时，求线段的长．
②当点落在菱形的边上时，请直接写出的值．

如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，与相交于点H，连接并延长交于点P，且．记的面积为，的面积为，若，则的长为（　　）
   

A．6

B．

C．8

D．9

疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度，支架底板宽度，支撑角，支撑板，小红坐在距离支架底板处观看（即），Q点是中点．当视线与屏幕垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度等于 ______；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 ______．