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2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆并发回大量月背影像．如图所示为位于月球背面的“嫦娥四号”探测器A通过“鹊桥”中继站B向地球传输电磁波信息的示意图．拉格朗日L₂点位于地月连线延长线上，“鹊桥”的运动可看成如下两种运动的合运动：一是在地球和月球引力共同作用下，“鹊桥”在L₂点附近与月球以相同的周期T₀一起绕地球做匀速圆周运动；二是在与地月连线垂直的平面内绕L₂点做匀速圆周运动．已知地球的质量为月球质量的n倍，地球到L₂点的距离为月球到L₂点的距离的k倍，地球半径、月球半径以及“鹊桥”绕L₂点做匀速圆周运动的半径均远小于月球到L₂点的距离（提示：“鹊桥”绕L₂点做匀速圆周运动的向心力由地球和月球对其引力在过L₂点与地月连线垂直的平面内的分量提供）．

（1）若月球到L₂点的距离r=6.5×10⁷m，k=7，“鹊桥”接收到“嫦娥四号”传来的信息后需经t₀=60.0s处理才能发出，试估算“嫦娥四号”从发出信息到传回地球的最短时间（保留三位有效数字）；
（2）试推导“鹊桥”绕L₂点做匀速圆周运动的周期T的（近似）表达式．若k=7，n=81，T₀=27.3天，求出T的天数（取整数）.

类型：解答题

难度系数：困难0.15

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某兴趣小组同学利用如图甲所示的一组大小、质量各不相同的硬质弹性小球进行了若干次碰撞实验。所有碰撞都可认为是弹性碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力影响，小球均可视为质点。试讨论以下问题：
（1）第一次实验他们将一个质量为m₁的小球1从距离地面高度h处由静止释放，如图乙所示。通过查阅资料他们估计出了球与地面的作用时间

。求1球与地面碰撞过程中对地面平均作用力F的大小。
（2）第二次实验在1球顶上放一质量为m₂的2球，m₂=km₁（k＜1），让这两个球一起从距离地面高h处自由下落并撞击地面，如图丁所示，他们惊奇的发现球2反弹的高度超过了释放时的高度。他们猜想若2球质量越小被反弹的高度越高，试从理论角度分析他们的猜想是否正确，并求2球能达到的最大高度。
（3）受（2）的启示，他们设想了一个超球实验：将三个球紧贴从距离地面h高处由静止释放，由下至上三球的质量分别为m₁、m₂和m₃，且满足m₁≫m₂≫m₃，如图戊所示。他们设想3球可以被反弹到很高的高度，试估算此高度。

类型：解答题

难度系数：困难0.15

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如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度为H（已知量），筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的

，小球碰地后的反弹速率为落地速率的

，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小球同时到达地面（在此之前小球未碰过地），此时立即锁住圆筒让它停止运动，小球则继续多次弹跳，重力加速度为g，不计空气阻力，求:
（1）圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大高度h_max；
（2）小球从释放到第一次落地所经历的时间t以及圆筒的长度L；
（3）在筒壁上距筒底

处装有一个光电计数器，小球每次经过该处计数器就会计数一次，请问，光电计数器的示数最终稳定为几次?

类型：解答题

难度系数：困难0.15

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离子推进技术在太空探索中有广泛的应用，其简化装置为如图1所示，它由长L=1m、内外半径分别为R₁=0.1m和R₂=0.3m的同轴圆柱面和半径为R₂的两圆形电极组成，并将其分为长度相同的电离区I和加速区II。电离区I充有稀薄的铯气体，仅存在方向沿轴向的匀强磁场，内圆柱表面材料的逸出功W=5.0eV，在波长λ=124nm的光照射下可以持续向外发射电子，电子碰撞铯原子，使之电离成为一价正离子。I区产生的正离子（初速度可视为零）进入电势差U=3.64kV的加速区II，被加速后从右侧高速喷出产生推力。在出口处，灯丝C发射的电子注入正离子束中中和离子使之成为原子。已知铯离子质量

，电子电荷量

，电子质量

，普朗克常量与光速乘积

。不计离子间、电子间相互作用。
（1）求内圆柱表面发射电子的最大初速度v_m；
（2）若I区所有光电子均不会碰到外圆柱面，求磁感应强度的最大值B_m；
（3）若单位时间内有N=10¹⁸个铯离子进入区域II，试求推进器的推力F；
（4）为提高电离效果，一般不分I区和II区，在整个圆柱面区域内加载方向沿轴向的匀强磁场和同样的加速电压U，如图2所示。光电子在磁场中旋转的同时被加速，电离出更多的离子。以圆柱面中心轴线为x轴、左侧电极圆心O为原点，建立坐标Ox，若刚被电离的离子初速度可近似为零，单位时间内离子数密度