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难度系数：0.94 
答案解析
有奖纠错
1．剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ）
A． | B． |
C． | D． |
2．下列各数为负分数的是（ ）
| A．－1 | B． | C．0 | D． |
3．如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． | B． |
C． | D． |
4．2021年3月5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（ ）
A． | B． | C． | D． |
5．如图，将线段
先绕原点
按逆时针方向旋转
，再向下平移4个单位，得到线段
，则点
的对应点
的坐标是（ ）
先绕原点
按逆时针方向旋转
，再向下平移4个单位，得到线段
，则点
的对应点
的坐标是（ ）
A． | B． | C． | D． |
6．如图，
是
的直径，点
，
在上，点
是
的中点，过点画的切线，交
的延长线于点
，连接
．若
，则
的度数为（ ）
是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）A． | B． | C． | D． |
7．如图，在四边形纸片
中，
，
，
．将纸片折叠，使点
落在
边上的点
处，折痕为
．若
，则
的长为（ ）
中，
，
，
．将纸片折叠，使点
落在
边上的点
处，折痕为
．若
，则
的长为（ ）
| A．5 | B． | C． | D． |
8．已知反比例函数
的图象如图所示，则一次函数
和二次函数
在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
的图象如图所示，则一次函数
和二次函数
在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． | B． |
C． | D． |
9．计算：
__________ ．
10．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________ ．
11．列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间
与行驶的平均速度
之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在
内到达，则速度至少需要提高到__________ 
．
与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到．12．已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为
、
，则___ ．（填“
”、“
”、“
”）
、
，则．（填“
”、“
”、“
”）
13．如图，正方形内接于
，
，
分别与相切于点和点
，的延长线与
的延长线交于点
．已知
，则图中阴影部分的面积为___________ ．
内接于
，
，
分别与相切于点和点
，的延长线与
的延长线交于点
．已知
，则图中阴影部分的面积为
14．已知正方形的边长为3，为
上一点，连接
并延长，交的延长线于点
，过点作
，交
于点
，交于点，
为的中点，
为
上一动点，分别连接
，
．若
，则
的最小值为__________ ．
的边长为3，为
上一点，连接
并延长，交的延长线于点
，过点作
，交
于点
，交于点，
为的中点，
为
上一动点，分别连接
，
．若
，则
的最小值为
15．已知：
及其一边上的两点，．
求作：
，使
，且点
在内部，
．
及其一边上的两点，．求作：
，使
，且点
在内部，
．
16．（1）计算：
；
（2）解不等式组：
，并写出它的整数解．
；（2）解不等式组：
，并写出它的整数解．17．为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
18．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡
的长是20米，坡角为
，斜坡底部与大楼底端的距离
为74米，与地面垂直的路灯
的高度是3米，从楼顶
测得路灯项端处的俯角是
．试求大楼的高度．
（参考数据：
，
，
，
，
，
）
的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：
，，，，，）19．在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取
名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用
表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“
”这组的数据如下：
90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
竞赛成绩分组统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）
__________；
（2）“”这组数据的众数是__________分；
（3）随机抽取的这名学生竞赛成绩的平均分是___________分；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用
表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“
”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
竞赛成绩分组统计表
| 组别 | 竞赛成绩分组 | 频数 | 平均分 |
| 1 |  | 8 | 65 |
| 2 |  |  | 75 |
| 3 |  |  | 88 |
| 4 | | 10 | 95 |
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）
__________；（2）“
”这组数据的众数是__________分；（3）随机抽取的这
名学生竞赛成绩的平均分是___________分；（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
20．某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的
．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，在
中，为边的中点，连接
并延长，交
的延长线于点
，延长
至点
，使
，分别连接，
，
．
（1）求证：
；
（2）当
平分
时，四边形
是什么特殊四边形？请说明理由．
中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．（1）求证：
；（2）当
平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．22．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度
（米）与小钢球运动时间
（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度
（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出
与之间的函数关系式；（2）求出
与之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
23．问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为
，有1个，所以总共有
个整数边三角形．
表①
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为
，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为
，有1个，所以总共有
个整数边三角形．
表②
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为
，有1个，所以总共有
个整数边三角形．表①
| 最长边长 | 最短边长 | （最长边长，最短边长，第三边长） | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
| 1 | 1 | | 1 | 1个1 |  |
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为
，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为
，有1个，所以总共有
个整数边三角形．表②
| 最长边长 | 最短边长 | （最长边长，最短边长，第三边长） | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
| 2 | 1 | | 1 | 2个1 |  |
| 2 | | 1 |
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
| 最长边长 | 最短边长 | （最长边长，最短边长，第三边长） | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
| 3 | 1 |  | 1 | 2个2 |  |
| 2 |  ， | 2 | |||
| 3 |  | 1 |
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
| 最长边长 | 最短边长 | （最长边长，最短边长，第三边长） | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
| 4 | 1 |  | 1 | 3个2 |  |
| 2 |  ， | 2 | |||
| 3 |  ， | 2 | |||
| 4 |  | 1 |
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
| 最长边长 | 最短边长 | （最长边长，最短边长，第三边长） | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
| 5 | 1 |  | 1 | ___ | ___ |
| 2 |  ， | 2 | |||
| 3 | _______ | _____ | |||
| 4 |  ， | 2 | |||
| 5 |  | 1 |
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为
，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
24．已知：如图，在矩形和等腰
中，
，
，
．点
从点出发，沿
方向匀速运动．速度为
；同时，点
从点出发，沿
方向匀速运动，速度为．过点作
，交于点，交
于点，过点作
，交于点．分别连接
，
，设运动时间为
．
解答下列问题：
（1）当
时，求
的值；
（2）设五边形
的面积为
，求
与之间的函数关系式；
（3）当
时，求的值；
（4）若与相交于点
，分别连接
和
．在运动过程中，是否存在某一时刻，使
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
和等腰
中，
，
，
．点
从点出发，沿
方向匀速运动．速度为
；同时，点
从点出发，沿
方向匀速运动，速度为．过点作
，交于点，交
于点，过点作
，交于点．分别连接
，
，设运动时间为
．解答下列问题：
（1）当
时，求
的值；（2）设五边形
的面积为
，求
与之间的函数关系式；（3）当
时，求的值；（4）若
与相交于点
，分别连接
和
．在运动过程中，是否存在某一时刻，使
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．