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2019年全国高中数学联赛四川省预赛

类型:竞赛
年份:2019
年级:高三
题数:11
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1.设正六边形ABCDEF的边长为1,则______ .
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2.双曲线的右焦点为F,离心率为e,过点F且倾斜角为的直线与该双曲线交于点AB,若AB的中点为M,且|FM|等于半焦距,则_____ .
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3.满足(a+bi)6=abi(其中abRi2=-1)的有序数组(ab)的组数是_____ .
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4.已知正四棱锥的高为3,侧面与底面所成角为,先在内放入一个内切球O1,然后依次放入球,使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切,则放入所有球的体积之和为_____ .
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5.设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同),确定颜色后放回,直到连续两次均取出红色球时为止,记此时取出球的次数为ξ,则ξ的数学期望为_____ .
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6.已知a为实数,且对任意k∈[-1,1]当x∈(0,6]时,6lnx+x2-8x+akx恒成立,则a的最大值是_____ .
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7.已知数列{an}满足:,其中[x]表示不超过实数x的最大整数.设C为实数,且对任意的正整数n,都有,则C的最小值是_____ .
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8.若正整数n使得方程有正整数解(xyz),称n为“好数”.则不超过2019的“好数”个数是_____ .
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9.设点A的坐标为(0,3),点BC为圆上的两动点,满足∠BAC=90°,求△ABC面积的最大值.
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10.设abc∈(0,1],为实数,使得恒成立,求的最大值.
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11.已知函数f(x)=xlnxax2aR.
(1)证明:当1<x<3时,
(2)设函数F(x)=|f(x)|(x∈[1,e])有极小值,求a的取值范围.
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试题总体分析
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知识点分析