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2009年全国高中数学联合竞赛试题

类型:竞赛
年份:2009
年级:高三
题数:15
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1.若函数,且.则______.
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2.已知直线和圆,点在直线上,为圆上两点,在中,过圆心,则点横坐标范围为___________
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3.在坐标平面上有两个区域是随变化的区域,它由不等式所确定,的取值范围是,则的公共面积是函数      
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4.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为____
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5.椭圆上任意两点,若,则乘积的最小值为   
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6.若方程仅有一个实根,那么的取值范围是_________
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7.一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行.则最后一行的数是______(可以用指数表示).
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8.某车站每天早上8:00~9:00、9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律见表1.一旅客8:20到站.则他候车时间的数学期望为______(精确到分).
表1
到站时刻
8:10~9:10
8:30~9:30
8:50~9:50
概率



 
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9. 设直线(其中为整数)与椭圆交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
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10.已知是实数,方程有两个实根,数列满足).
(1)求数列的通项公式(用表示);
(2)若,求的前项和.
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11.求函数的最大值和最小值.
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12.如图,分别为锐角)的外接圆圆上弧的中点.过点交圆于点的内心,联结并延长交圆于点
求证:(1)
(2)在弧(不含点)上任取一点),记的内心分别,则四点共圆.
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13.求证:不等式
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14.设是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数),使得互质.
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15.在非负数构成的数表中,每行的数互不相同,前六列中每列的三数之和为1,均大于1.如果的前三列构成的数表满足下面的性质:对于数表中的任意一列)均存在某个使得.①
求证:(1)最小值)一定去自数表的不同列;
(2)存在数表中唯一的一列)使得数表仍然具有性质().
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