全一卷
1.已知集合,,则中元素的个数为( )
A.2 | B.3 | C.4 | D.6 |
2.复数的虚部是( )
A. | B. | C. | D. |
3.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为,且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )
A. | B. |
C. | D. |
4.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I()=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则约为( )(ln19≈3)
A.60 | B.63 | C.66 | D.69 |
5.设为坐标原点,直线与抛物线C:交于,两点,若,则的焦点坐标为( )
A. | B. | C. | D. |
6.已知向量 ,满足, ,,则( )
A. | B. | C. | D. |
7.在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB=( )
A. | B. | C. | D. |
8.下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )
A.6+4 | B.4+4 | C.6+2 | D.4+2 |
9.已知2tanθ–tan(θ+)=7,则tanθ=( )
A.–2 | B.–1 | C.1 | D.2 |
10.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为( )
A.y=2x+1 | B.y=2x+ | C.y=x+1 | D.y=x+ |
11.设双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1 | B.2 | C.4 | D.8 |
12.已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c | B.b<a<c | C.b<c<a | D.c<a<b |
13.若x,y满足约束条件 ,则z=3x+2y的最大值为_________ .
14.的展开式中常数项是__________ (用数字作答).
15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________ .
16.关于函数f(x)=有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是__________ .
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是
17.设数列{an}满足a1=3,.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
附:,
锻炼人次 空气质量等级 | [0,200] | (200,400] | (400,600] |
1(优) | 2 | 16 | 25 |
2(良) | 5 | 10 | 12 |
3(轻度污染) | 6 | 7 | 8 |
4(中度污染) | 7 | 2 | 0 |
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
人次≤400 | 人次>400 | |
空气质量好 | ||
空气质量不好 |
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
19.如图,在长方体中,点分别在棱上,且,.
(1)证明:点在平面内;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
(1)证明:点在平面内;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
20.已知椭圆的离心率为,,分别为的左、右顶点.
(1)求的方程;
(2)若点在上,点在直线上,且,,求的面积.
(1)求的方程;
(2)若点在上,点在直线上,且,,求的面积.
21.设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直.
(1)求b.
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
(1)求b.
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A、B两点.
(1)求;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.
(1)求;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.
23.设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.