2010年湖南省高中数学竞赛试卷试题

难度系数：0.94

答案解析

有奖纠错

1．若

是

上周期为5的奇函数，且满足

，则

.

A．6

B．7

C．8

D．9

难度系数：0.94

答案解析

有奖纠错

2．对于非零向量

有两个命题.
命题甲：

；
命题乙：函数

为一次函数.
则甲是乙的条件.

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分也不必要

难度系数：0.85

答案解析

有奖纠错

3．如图，若

是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EFGH截去几何体EFGHB₁C₁后得到的几何体，其中E为线段A₁B₁上异于B₁的点，F为线段BB₁上异于B₁的点，且EH∥A₁D₁，则下列结论中不正确的是

A．EH∥FG	B．四边形EFGH是矩形
C．是棱柱	D．是棱台

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

4．如图，在半径为

的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设

为前

个圆的面积之和. 取正数

. 若

，则

的取值为.

A．大于100的所有自然数

B．大于100的有限个自然数

C．不大于100的所有自然数

D．不大于100的有限个自然数

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

5．设直线

与双曲线

的渐近线交于点

、

，记

，

，任取双曲线

上的点

. 若

，则.

A．

B．

C．

D．

难度系数：0.94

答案解析

有奖纠错

6．一厂家有一批长40cm、宽30cm的矩形红布. 现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子. 则红布可以拼成三角形旗子的种数是.

A．1

B．2

C．3

D．4

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

7．设定义在区间

上的函数

的图象与

的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为

，直线

与函数

的图象交于点

，则线段

的长为________.

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

8．在等比数列

中，

，

，函数

.
则函数

在点

处的切线方程为______.

难度系数：0.85

答案解析

有奖纠错

9．如果执行图所示的程序，输入正整数

、

，那么，输出的

等于______.

难度系数：0.64

答案解析

有奖纠错

10．已知

为区间

上的连续函数，且恒有

，可以用随机模拟方法近似计算积分

. 先产生两组（每组

个）区间

上的均匀随机数

和

，由此得到

个点

；再数出其中满足

的点数

. 那么，由随机模拟方法可得积分

的近似值为______.

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

11．设

是

的二项展开式中

的系数. 则

______.

难度系数：0.40

答案解析

有奖纠错

12．若三个非零的实数

成等比数列，则其公比是______.

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

13．设函数

．若

成立的充分条件是

，则实数

的取值范围是______．

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

14．空间有五个点，任意四点不共面. 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______.

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

15．已知当

时，不等式

恒成立. 试求实数

的取值范围.

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

16．如图，

、

在

内滚动且始终保持与

内切，切点分别为

、

，

是

和

的外公切线. 已知

、

的半径分别为

、

. 求证：

为定值.

难度系数：0.65

答案解析

有奖纠错

17．设椭圆

，

，过原点

引射线分别与椭圆

、

交于点

、

，

为线段

上一点.
（1）求证：

、

成等比数列的充要条件点

的轨迹方程为

.
（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）.

难度系数：0.40

答案解析

有奖纠错

18．设

是整数1，2，…，

的一个排列，且满足
（1）

；
（2）

.
记上述排列的个数为

. 试求

被3除的余数.

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