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1998年北京市中学生数学竞赛试卷试题

类型:竞赛
年份:1998
年级:高三
题数:45
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难度系数: 难度系数:0.65
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1.已知如下数组

.
其中可作为直角三角形三边长度的数组是(   ).
A.①,④B.②,④
C.②,③D.③,④
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2.在下面时间段内,时钟的时针与分针会出现重合的是(   )
A.5:25~5:26B.5:26~5:27
C.5:27~5:28D.5:28~5:29
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3.已知,使为正数的自然数有.
A.1个B.2个
C.多于2的有限个D.无限多个
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4.将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形,那么,不全等的三角形的个数是(   ).
A.5B.6C.8D.10
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5.在中,.则的面积等于(   ).
A.16B.18C.D.
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6.已知.则的大小关系是(   ).
A.
B.
C.
D.
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7.化简________.
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8.如图,为正方形内一点,,并且点到边的距离也等于10.那么,正方形的面积是________.
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9.已知为整数,是质数.那么,的所有可能值的和为__________.
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10.如图,为平行四边形内一点,过点分别作的平行线交平行四边形于四点.若,则__________.
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11.实数满足.则之值是__________.
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12.多项式的一个因式是.则的值为__________.
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13.梯形的两条对角线互相垂直,其中一条对角线的长是5厘米,梯形的高等于4厘米.那么,梯形的面积是__________.
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14.某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲、乙二人都急于上楼办事,因此在乘扶梯的同时匀速登梯,甲登了55级后到达楼上,乙登梯速度是甲的2倍(单位时间乙登楼梯级数是甲的2倍),他登了60级后到达楼上.那么,由楼下到楼上自动扶梯级数为__________.
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15.若.则__________.
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16.如图,等腰直角三角形中,为斜边的中点,分别为腰上(异于端点)的点,.设,则的取值范围是__________.
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17.实数满足.则的最大值为__________.
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18.若均为质数,,且.满足.则__________.
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19.黑板上写有1,2,3,…,1997,1998这1998个自然数,对它们进行操作。每次操作规则如下:擦掉写在黑板上的三个数后,再添写上所擦掉三个数之和的个位数子,例如:擦掉5,13和1998后,添加上6;若再擦掉6,6,38,添加上0,等等,如果经过998次操作后,发现黑板上剩下两个数,一个是25,则另一个是__________.
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20.今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克.现要配制浓度为7%的盐水100克,问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?
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21.矩形中,厘米,厘米,若在上各取一点(如图).使的值最小,求这个最小值.
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22.国际象棋比赛中.胜局一得1分,平一局得0.5分,负一局得0分。今有8名选手进行单循环比赛(每两人均赛一局),赛完后、发现各选手的得分均不相同,当按得分由大到小排列好名次后,第四名选手得4.5分,第二名的得分等于最后四名选手得分总和.问前三名选手各得多少分?说明理由.
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23.如图,正方形被两条与边平行的线段分割成4个小矩形,的交点,若矩形的面积恰好是矩形面积的两倍,试确定的大小,并证明你的结论.
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24.化简的结果是(   ).
A.
B.
C.
D.
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25.那么,的关系是(   ).
A.B.
C.D.
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26.的内切圆切斜边于点.则内切圆的半径等于(   ).
A.6B.C.D.2
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27.函数的值域是集合.则中不属于的元素是(   ).
A.2B.C.D.
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28.已知函数的图象过点,那么函数的图象过点(   ).
A.B.C.D.
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29.我们规定真命题赋值为1,假命题赋值为0.“1”或“0”均称作命题的“真值”
命题:“在同一个直角坐标系中,曲线的图象与的图象至多有一个交点.”那么,命题的真值是__________.
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30.在正方体中,过三点的平面记为,过三点的平面记为.那么,为__________.
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31.已知.则的值为__________.
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32.已知存在整数使等式对任意实数都成立.则的值为__________.
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33.实数满足.那么的最小值为__________.
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34.方程的解集为__________.
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35.若,那么,的值为__________.
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36.如图所示,三棱柱中,全部的九条棱长都等于1,且P为侧面的对角线A1B上一点,,连.异面直线AC所成角的度数为__________.
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37.设函数对任意实数都有.则__________.
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38.的内切圆分别切三边于的内切圆分别切三边.已知的周长等于3.则的面积等于__________.
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39.已知都是定义在上的函数.我们定义上的函数为的最小值.则的最大值等于__________.
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40.已知.则__________.
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41.长方体中,.过作长方体的截面,则所得截面多边形面积的最小值是__________.
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42.是定义在上且取值为整数的严格增函数(如果任意,当时,有,则称上的严格增函数),当互质时,有.若,试求的值.
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43.如图,在四棱锥中,底面正方形的边长为,侧棱为棱的中点,为棱的中点.求异面直线所成角的余弦值.
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44.若,求证:对任意的实数,关于的方程都有两个不等的实数根.
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45.有1998名运动员号码为1~1998这1998个自然数,从中选出若干名运动员参加仪仗队,但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积.那么,选为仪仗队的运动员至少能有多少人?给出你的选取方案,并简述理由.
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试题总体分析
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