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1987年全国高中数学联合竞赛试卷试题

类型:竞赛
年份:1987
年级:高三
题数:12
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难度系数: 难度系数:0.65
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1.对任意给定的自然数n,若为正整数的正方,其中a为正整数,则
A.这样的a有无穷多个;
B.这样的a存在,但只有有限个;
C.这样的a不存在;
A.以上A.、B.、C.的结论都不正确.
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2.边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是
A.B.14;C.D.12.
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3.在平面直角坐标系中,纵横坐标均为有理数的点称为有理点. 若a为无理数, 则过点 (a,0) 的所有直线中
A.有无穷多条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点;
B.恰有条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点;
C.有且仅有一条直线至少通过两个有理点;
D.每条直线至多通过一个有理点.
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4.如图,的顶点B在单位圆的圆心上,.现将在圆内按逆时针方向依次作旋转,具体方法如下:第一次,以A为中心,使B落到圆周上;第二次,以B为中心,使C落到圆周上;第三次,以C为中心,使A落到圆周上.如此旋转直到第100次.那么,A点所走路程的总长度为
A.
B.
C.
D..
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5.已知集合,并且.那么,的值等于__________.
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6.已知集合.若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则a的值为________.
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7.若k是大于1的整数,a是的根,对于大于10的任意自然数n,的个位数字总是7,则k的个位数字是__________.
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8.现有边长分别3,4,5的三角形两个,边长分别4,5,的三角形四个,边长分别为,4,5的三角形六个.用上述三角形为面,可以拼成______个四面体.
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9.五对孪生兄妹参加k个组的活动.若规定:(1)孪生兄妹不在同一组;(2)非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一组的活动;(3)有一个人只参加两个组的活动.则k的最小值是__________.
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10.如图,是两个不全等的等腰直角三角形.现固定,而将绕A点在平面上旋转.试证:不论旋转到什么位置,线段EC上必存在点M,使为等腰直角三角形.
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11.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:存在一个同心圆的集合,使得:(1)每个整点都在此集体的某一圆周上;(2)此集合的每个圆周上.有且只有一个整点.
难度系数: 难度系数:0.40
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12.名乒乓球选手单打比赛若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同.试证明:总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同.
试卷分析
试题总体分析
难易度分析
知识点分析